数学中的无解之解

　　以下为演讲全文：

　　张寿武：早上好, 很高兴能够参加未来科学大奖周，我接到组委会邀请来做一个30分报告，这对我来说是不太容易事情，我之前都是给数学系大学生、研究生或者对数学有兴趣中学生做报告， 所以第一次给公众报告，讲解未来科学的题目，对我来讲有点沉重。 我讲点轻松东西。今天听众大人比昨天多些；昨天碰到很多中学生来听报告。中学生通常考虑的问题是念什么专业最有前途。在这个年代可怕有两个主题是最好的专业，一个是计算机，一个是金融，这俩都可以给你带来丰厚的工资。在我们年代也一样，我们年代叫做学好数理化，走遍天下都不怕。我觉得数理化最有用的大概是化学，因为像家里面所有的东西基本都是化学制品。信不信由你，当年我也考上中山大学化学系，进入化学之后发现化学不好学。然后就去看物理书，发现物理也不好学，学物理要把数学学好，所以我转到数学系去了。数学领域分成两类，一类叫做应用数学家，他们能解决问题。还有一类叫做纯粹数学家，他们解决不了问题。我发现我没办法跟应用数学家在一起拼，因为他们解题水平太高了，所以我就变成了一个纯粹数学家。纯粹数学家关注那些不能解的问题，所以就瞎掰，所以我今天的报告主要是瞎掰，基本上没有什么用。但是如果你仔细听，你会发现这些瞎掰的数学也不容易做。

　　我的第一部分是万物皆数。万物皆数这个道理是古希腊的大哲学家毕达格拉斯提出来的，他通过研究乐率和星座，发现万事万物都与数字有关系。所以在研究世界之前，应当把数字研究清楚。他办了一个学校，是一个秘密学校，这个学校里面主要学习哲学、音乐、天文和数学。他把许多事都标上数，比如说1代表推理，2代表意见，3代表和谐，4代表公正。5代表婚姻和爱情，奇数代表阳，偶数代表阴。这就是他的观点。

　　毕达格拉斯的数是指有理数； 先有整数，整数之后再有成分数。有了整数之后我们就可以解所谓的线性方程。比如说3X等于5，那么X等于几，5/3，这就是毕达格拉斯当年的研究。但毕达格拉斯很快发现光有有理数是不够的，大家知道勾股定理，但你如果到美国念书，他就不叫勾股定理，而叫毕达格拉斯定理。我们现在虽然把它叫做毕达格拉斯定理，但其实并不是毕达格拉斯最先得出的，历史记载都比这早的多。但是这些定理的名字都归功为毕达格拉斯。

　　他有一个学生在研究单位正方形的对角线时发现了问题，他发现对角线根号2不是个有理数。这个问题就非常严重了，因为毕达格拉斯认为所有的数都是应当是有理数。他学生发现了这一问题，发现之后他还告诉别人，对毕达格拉斯来说这可是不得了的事，后来他就把这个学生给沉到海里去了。这位学生发现了无理数这件事使他付出了生命的代价。有了无理数，我们现在就知道二次方程可以求解，并且我们的中学生可以得出这个解，这是很了不得的事情。若没有根号，我们的求解将会很困难。

　　现在又到了三次方程。三次方程求解也是一个很长的历史，在1500年以前，中国人已经知道数值解，这是在数值解领域中做的比较早的人。但是在精确解方面，中国人没有研究过。我们知道中国人不会研究没用的东西，数值解有用。关于三次方程的数学解，也有一个很长的故事，首先这些故事都是发生在几百年以前意大利，首先有一个数学家叫做法罗，他发现了解一些三次方程的方法，但是他还没有负数的概念，所以解方程比较被动，把正的一边挪到那一边，负的挪到那一边，正的等于正的，所以他解方程很困难。我们现在叫配方，那个年代连解都不能解，所以更没法配方。他发现解一类的方程，但是这个哥们儿写在小本上，他死了之后，交给他的女婿，他女婿也是个数学家，他女婿继承了他的位置并把这个方法保存起来。他另外一个学生菲尔斯到处吹嘘我知道怎么解三次方程。后来碰到另外一个数学家，叫做塔格里尔，塔格里尔他也知道怎么解三次方程，但是他们两个解的三次方程不一样。后来他们决定要打一次赌，要比一比，你出30道题，我出30道题，咱们就拼一拼。结果塔格里尔在比赛的前一天整整算了一天，就把解菲尔斯三次那些方程的方法弄出来了，但菲尔斯忙活了一天都没有解出塔格里尔的方程。于是塔格里尔就赢了。那时候不像现在，那时如果你知道怎么解方程，就会把这个证明写出来，放在兜里，作为秘密保存下来。

　　另外一个意大利学家，卡达那，当时在写一本书，他想知道塔格里尔怎么解方程，他问“你能不能把这个秘密告诉我，我坚决不会告诉别人，等到多少年之后我再来发表。”卡达那后来从别的途径知道很早之前菲尔斯已经知道这个证明了，他把这个书写出来发表了。后来塔格里尔就很生气，你跟我发誓说不要发表这个证明，你现在怎么给写出来了发表。后来塔格里尔就要跟塔格里尔打赌，又要去比赛。他派了一个学生叫法拉力，法拉力跟塔格里尔比赛，比赛完成之后，后面这哥们儿更高明，他不只是知道负数，他还知道根复数，结果法拉力就赢了，赢了之后塔格里尔不只是把钱都输光了，职位也丢了。那时候做数学危险系数很高，前面丢了命，后面工作都没有了，这就是三次方程的例子。其实到今天我们有正数和负数的概念之后，这个解其实并不复杂。

　　把三次方程跟第二次方程做一个比较，把一个方程变成三个方程，后边两个方程很容易求解。也就是X, Y三次方程等于Q，前面的Y, Z等于P，前面一个三次方把这个求完，稍微学一点中学数学，这方程就能求解了。在那个年代不容易，三次方程就是这个样子。关于四次方程，四次方程刚才前面的方法也能求解。

　　第二部分，现在我讲五次方程。五次方程困扰数学家许久。这个问题被250年后的阿贝尔解决了。阿贝尔这个人是一个传奇式的人物。打一个最简单的例子，大家知道科学里有诺贝尔奖，数学里面有菲尔兹奖，大家通常把菲尔兹奖和诺贝尔奖做比较。但这是错的。在1899年的时候，数学家们就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖来代替诺贝尔奖，由于瑞典和挪威当时分裂了，这个事儿就耽搁，这事儿耽搁了差不多一百年，所以阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。你就知道阿贝尔这个人不是简单的人。阿贝尔是个才情极高的数学家，但是他这个人只活了26岁，他是一个非常不容易的人。他早年在做数学的时候就已经发表过很多文章，但是不知道什么样的原因，他的很多工作都被拒绝。他第一次证明了五次方程不可解的时候，用六页纸写下来，他把它讲稿寄给高斯，高斯没理他。他后来在杂志发表了这个证明，当很多人不相信。原因是证明太简略。他为什么不写长一点？ 他没钱。现在发表文章把文章往杂志一投，审一下稿就发了。但是那时你如果发表文章根据页数交钱。但是他那时候没有钱，所以这个文章很短。你不要笑话，前苏联也是这样，前苏联有很多数学家写的文章很短，我们现在认为苏联数学家写的很精炼，法国数学家写的很啰嗦，其实不是，苏联数学家没钱，所以他只能是写的那么短。所以阿贝尔这个五次方程不可解的东西，在过了很多年之后又重新给了证明。他为了证明五次方程不可解，他引入了群论，所以阿贝尔是群论的创始人之一。阿贝尔几次到哥廷根到巴黎去跟大数学家切磋，都以失败告终，因为他写东西写的不清楚，太精炼。他所有的荣誉都是在他死后得到的，他是得肺结核死的。他最悲惨的时候，他死了之后几天他在哥廷根的位置才批下来，寄到他家里面，所以是很悲惨的例子。今天的阿贝尔奖就是为了纪念他。

　　五次方程不可解还涉及另外一个数学家——伽罗瓦。伽罗瓦是一个法学数学家，你看看他的岁数，他大概活了20岁。这个数学家小时候就有很高的数学天赋，他当时想考法国高等工科学院，相当于今天的清华大学，当时是法国数学最好的大学，相当于我们早期清华大学。清华大学三四十年代方程数学系是最好。他考了两次高工也没有考上，只好考了法国高等师范大学，相当于早期的北京大学。不过今天的法国高师很厉害， 我们的北京大学也很厉害。

　　伽罗瓦他有很强的数学天赋，但是他是一个政治热衷者，他常常卷入政治斗争。他是共和派，以前分保皇派和共和派，他为了共和派上街游行，坐牢。坐牢时候，在牢房里面碰见一个姑娘，他喜欢这个姑娘。出狱后就为了那个姑娘去决斗，他知道他的对手比他强太多了，他也知道他肯定必死无疑，在临死前五天把他所有的写下来，写在小本本里面，然后寄给可柯西和傅里叶。这两个数学家也不认为他的东西怎么的，一放放了几十年，几十年伽罗瓦的东西才发表，他所有的东西都是对的，而且他也独立发表了群论。所以我讲了两个天才，他比阿贝尔的高明之处在于阿贝尔说一般的五次方程不可解，伽罗瓦是说随便你给我五次方程，我在几步之内就知道它可解不可解。你看有些数学家真是疯子，为了政治、为了爱情，把命都丢掉了，但是他丢了命确实跟数学没有关系，如果他好好做数学应该没有问题。

　　所以到这个地方我要打一个成语，过一会儿到我的课结束之后会把谜底揭示出来。“方程无解”打一成语，你如果知道先别说。

　　第三部分，现代化一点的叫做等幂和问题，这是个很古老的问题。这个古老的问题是什么，我给一个整数，什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和？这是一个很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方，这跟前面有什么关系，如果前面所有解的东西都是一元多次方程，一个方程只有一个变元，这些东西求解不求解问题相对来讲简单一点。但是现在一个方程里面有两个变量在里面。要求在整数或有理数求解。这个问题复杂得多，多了一个维度。

　　这个问题也是很早的历史，应该是最早在欧几里得的《几何原本》里面就遇到这个问题，欧几里得这个书也有两千多年的历史。它的印刷次数仅次于圣经。不过专门研究这些整数方程其实是在另外一本书，是公元后两百年，有一个叫丢番图的人。他写了一本书叫《算术》的书。书里面大概有几百套个数学问题，他的书跟中国《九章算数》差不多平行，九章算数也列了几百套问题。在那里面提到哪些数可以写成两个数平方。丢番图通过一些演算之后，他猜测一个素数能够写成两个数的平方，当且仅当这个数除4余1； 比如5，5是1的平方加2的平方，11就不能写成两个数的平方和，因为你把11除完4之后余3，对吧，17没问题，4的平方和1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被费马证明。费马是一个传奇式的人物，首先他不是一个数学家，他是一个法官，作为法官不能跟老百姓平常聊天，因为怕影响到判决公正性。他平时没什么事儿就喜欢做一些数学。做完数学之后，他就写信写给朋友，他做完之后把结论写信告诉朋友，但是他不把证明写给朋友，所以这就变成一个非常有趣的事情，他证了很多定理，都叫做费马定理，但是都没有证明。他其中最出名的一个例子，大家知道他把刚才前面丢番图的《算术》，那本书里面碰到一个刚刚平方和的问题，被费马推广成高次和问题，然后他上面写我已经找到一个绝妙的证明，但是他说那书扉页太小，我写不下来。

　　费马一辈子列出了很多定理，许多年之后另外一个大数学家叫做欧拉，欧拉年轻的时候名气也不大，他就把费马每一条定理单独证一遍，但是最后一个定理证不出来，那定理叫做费马最后定理。但是这个定理300年之后被普林斯顿的教授证明了。我今天讲的是费马第一个出奇意料的定理，他证明了一个没有平方因子的有理数是两个数的有理和，这个数分解之后，每个素因子要么是2，要么是4N+1，2是很好办的事情，但是他把4N+1证出来了。

　　他在某一年的圣诞节，给他一个朋友写了一封信，他说我已经证出来一个有理数是两个平方数的和，并称其解的绝对妙。一个数能够写成两个数平方和的话，费马说他还可以找一个更小的数，也是满足同样的条件。一直推，推到最后也推不下去了，肯定就做出来了。然后费马给他这个办法提个名字叫无限下降法，无限下降法是数学领域一个分支数论里面一个最经典的方法，同样他的证明从来没有细节。这个证明的细节是欧拉多年之后证出来的。

　　费马还有很多有趣的事情，大家知道微积分通常是牛顿发明的，如果你把牛顿的数学原理里面打开，牛顿是这样说的，他的工作都是受费马的工作的影响，因为费马在当年没有微积分的情况下已经知道怎么求解极值和面积，费马甚至知道什么叫变分法，这是很了不起的。

　　我最后要讲的这一张幻灯片是关于未来数学，前面都是古典的数学。我前面说二次和问题解决了，那么三次四次怎么解决？剩下的问题我们所知甚少。我们第一个猜想是，一个整数能够写成两个有理数的立方和的概率只有1/2。这是很邪门的，你有时候能做有时候不能做，只有1/2的机会。要证明这个猜想，首先要解决另外一个大猜想，就是2000年克雷数学研究所的千禧问题，即解决了问题就拿100万美金，也不需要像我们未来科学大奖评奖，连评都不评，只要文章拿出来给你钱。关于四次以上的等幂和问题我们知道的更少。1983年法尔廷斯证明这个方程如果有有理解，最多只有有限多个解。但是你要知道这个问题的难处在于是求有理数解，如果整数还好办一点。由于他证明有这么一个结果，1986年他拿到菲尔斯奖。

　　另外一个数学家叫怀尔斯。怀尔斯他是说在n=1的情况下怎么解，就是是费马当年没有时间写的那个定理的证明， 350年之后，人们认为费马没有证明，他只是胡说。

　　另外一个关于高次等幂和问题的猜想叫做ABC猜想，我没有时间讲，如果ABC猜想被证实的话，这个方程不只是知道有限多个有理解，应该有个具体的程序来求解，我把它方程输入计算机之后，计算机程序就能帮我解个数出来。法尔廷斯用了反证法，所以他的方法不能用来求具体解。我们未来数学当中有两大猜想，一个是BSD猜想，一个是ABC猜想。我想今天下午张益唐会讲另外一个猜想，黎曼猜想，数论里面差不多有这三大猜想在这里面。这最后一页幻灯片就当今天大家听听笑话，不是真的做数学，你要真的做数学没有问题，大家想想看，代价很大，要么是用生命代价，要么饥寒交迫，但是今天社会还是好很多，我们国家对数学重视程度在如今跟以往没法比。

　　现在我介绍一些人们对数学家的描述。达尔文说，一位数学家就是一个黑屋子的瞎子，在找一个本不存在的黑帽子。这是数学的无解之解。毕达哥拉斯是第一个哲学家，现在有两种宇宙：感性宇宙和理性宇宙，物理化学是感性宇宙，理性宇宙想象大的东西也是宇宙。所以数学你可以想象。另外一个叫Erdos的数学家说，数学家就是把咖啡转化成定理的机器。数学家没事儿就去喝咖啡，边喝咖啡边做数学，然后喝完也做不出来，那就继续喝，直到把问题做出来。

　　那么我要揭开前面方程谜语的谜底，方程无解——求之不得。对数学家来说方程无解是一件最有趣的事情，意思就是解本没有解的方程，我们才能够有自己的研究，才能够有自己的生命，好，谢谢大家。

文章转载自新浪新闻